Mệnh đề (Statements) Logic hình thức

Tất cả các suy luận logic đều dựa trên mệnh đề. Mệnh đề là một phát biểu có thể đúng hoặc sai.

Ví dụ

Trong các câu sau:

  1. Công ty Apple sản xuất máy tính,
  2. Công ty Apple sản xuất máy tính tốt nhất thế giới,
  3. Bạn có mua máy tính IBM không?
  4. Máy tính giá 20 triệu giảm giá 25% sẽ còn 10 triệu,
  5. Tôi đang nói dối,

thì tương ứng với các tình huống sau:

  1. Câu "Công ty Apple sản xuất máy tính" là sự thật. Do đó, nó là mệnh đề.
  2. Câu "Công ty Apple sản xuất máy tính tốt nhất thế giới" là ý kiến. Nó có thể đúng hay sai tùy theo đối tượng. Do đó nó không là mệnh đề.
  3. Câu "Bạn có mua máy tính IBM không" chỉ là một câu hỏi. Nó không thể đúng hay sai, do đó nó không là mệnh đề.
  4. Câu "Máy tính giá 20 triệu giảm giá 25% sẽ còn 10 triệu" là sai. Do đó, nó là mệnh đề.
  5. Câu "Tôi đang nói dối" Đây là một phát biểu tự mâu thuẫn – nghịch lý. Nếu tuyên bố là đúng, người nói đang nói dối. Nhưng khi nói lên sự thật này, người nói tự mâu thuẫn mình là đang nói dối. Ngược lại, nếu lời tuyên bố là sai, người nói đang nói thật. Như vậy lại tự mâu thuẫn với tuyên bố. Như vậy tuyên bố không phải là mệnh đề.

Truyền thống, logic ký hiệu sử dụng chữ thường như là ký hiệu cho mệnh đề. Các chữ cái hay dùng là p, q, r, s, t.

Mệnh đề phức hợp và các liên kết logic

Trong Ví dụ trên, tính đúng sai của mệnh đề được xác định tương đối dễ dàng. Tuy vậy, trong thực tế tồn tại một số mệnh đề mà tính đúng sai của nó không dễ dàng xác định được. Mệnh đề như thế được gọi là mệnh đề phức hợp. Một mệnh đề phức hợp là mệnh đề chứa một hay nhiều mệnh đề đơn giản. Mệnh đề phức hợp có thể tạo thành bằng cách thêm từ không vào mệnh đề đơn hay nối 2 mệnh đề đơn bằng các liên từ như và, hoặc, nếu... thì..., chỉ nếu, và nếu và chỉ nếu.

Để xem xét rằng một mệnh đề phức hợp đúng hay sai ta phải xem xét cách mà các mệnh đề được liên kết. Tùy thuộc vào cách mà các mệnh đề được liên kết, mệnh đề phức hợp có thể có dạng: phủ định, hội, tuyển, kéo theo (hoặc điều kiện).

Mệnh đề phủ định ~p (The Negation ~p)

Phủ định của mệnh đề được biểu diễn bởi ký hiệu ~. Phủ định thường được cấu thành bằng cách thêm liên từ không. Ví dụ, với mệnh đề "p: trời đang mưa." Phủ định sẽ là "~p: trời không đang mưa." Nếu trời đang mưa, mệnh đề p là đúng và ~p là sai. Tương tự, nếu trời không mưa, p là sai và ~p là đúng. Mệnh đề và phủ định của nó bao giờ cũng có giá trị chân lý trái ngược nhau: một mệnh đề là đúng thì mệnh đề kia phải sai. Bởi vì tính chân lý của phủ định luôn phụ thuộc vào chân lý của mệnh đề gốc, do đó phủ định được phân loại như mệnh đề phức hợp.

Mệnh đề hội p ∧ q

Một mệnh đề hội bao gồm 2 hay nhiều mệnh đề được liên kết bằng từ và. Để biểu diễn liên từ và, người ta dùng ký hiệu ∧.

Mệnh đề tuyển p ∨ q

Khi các mệnh đề được liên kết bằng từ hoặc/hay, ta có mệnh đề dạng tuyển. Mệnh đề dạng tuyển được kỳ hiệu bởi dấu ∨.

Mệnh đề kéo theo p → q

Ta xem xét mệnh đề "Nếu trời mưa thì đường trơn". Mệnh đề này là mệnh đề phức hợp do nó được cấu thành từ 2 mệnh đề: p = "trời mưa" và q = "đường trơn"; mệnh đề được liên kết bởi cụm từ "nếu... thì...". Các mệnh đề có dạng này được gọi là mệnh đề kéo theo (hoặc mệnh đề điều kiện). p được gọi là giả thiết (hay tiền đề) của phép kéo theo, q được gọi là kết luận của phép kéo theo. Mệnh đề kéo theo được ký hiệu như sau: p → q.